strona główna  |  zaloguj  |  nowe konto  |  wykresy funkcji  |  wykresy zaawansowane  |  zadania tekstowe
Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych.                       y = a ( x - p )2 + q             y = ax2 + bx + c
alt="rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych, rozwiązywnanie równań kwadratowych, rozwiązywnanie nierówności kwadratowych, delta trójmianu kwadratowego, pierwiastki równania kwadratowego, pierwiastki trójmianu kwadratowego, sprowadzanie trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej, badanie monotoniczności funkcji kwadratowej, minimum i maksimum funkcji kwadratowej, parametr &Delta trójmianu kwadratowego, postać kanoniczna, postać wielomianowa, obliczenia bez użycia delty"
rozwiązywanie zadań - help rozwiązywanie zadań i punktacja funkcja kwadratowa i Δ, oraz a zadania pomocnicze

Pola tekstowe. Do pól tekstowych należy wprowadzać dane wymierne.
Pola wyboru - format danych i wyników. Pierwsze pole wyboru w aplecie dotyczy sposobu wykonywania obliczeń (obliczenia z użyciem delty i bez) i interpretacji danych wejściowych (postać wielomianowa: a,b,c; oraz postać kanoniczna trójmianu kwadratowego: a,p,q). Druga opcja służy do wyboru rodzaju zadania. Trzecia opcja służy do wybrania odpowiedniego znaku nierówności i tylko do nierówności ma zastosowanie.
Program rozwiązuje nierówności na dwa sposoby. Pierwszy sposób (metoda graficzna, opcja z gwiazdką "*") w argumentacji odwołuje się do rysunków dostępnych na niniejszej stronie (zakładka - "funkcja kwadratowa i Δ, oraz a"). Druga metoda odwołuje się do innej argumentacji.

Szczególne przypadki funkcji kwadratowej. Jak wiadomo pewne szczególne postacie funkcji kwadratowej nie wymagają obliczania parametru Δ (delta trójmianu kwadratowego) . Oto one: a( x - p )2 (Δ=0), trójmian ax2 + c (bez wyrazu liniowego), trójmian ax2 + bx (bez wyrazu wolnego). Program sam rozpoznaje szczególny przypadek niezależnie od tego czy jest włączona opcja liczenia z deltą czy bez. Ponieważ obliczenia bez użycia delty są droższe, więc chcąc oszczędzić punkty należy szczególne przypadki rozwiązywać z opcją (obliczenia z deltą). Aplet realizuje również bez użycia delty rozwiązywanie zadań, w których dane są wprowadzane w postaci kanonicznej. Osobna opcja liczenia Δ (delta trójmianu kwadratowego) została wprowadzona niejako na wszelki wypadek. Są bowiem w programie opcje i sytuacje, gdzie tego parametru się nie liczy.
Kiedy dane są wprowadzane w postaci kanonicznej, a celem zadania jest znalezienie postaci kanonicznej, punkty nie zą naliczane. (Zadanie nie wymaga rozwiązania.)


Rozwiązywanie zadań - punktacja.

Obliczanie delty (dla dowolnej opcji i formatu danych) - 1.

Rozwiązywanie równań kwadratowych: z użyciem Δ (delta trójmianu kwadratowego) - 1, bez użycia Δ (delta trójmianu kwadratowego) (postać wielomianowa) - 5, postać kanoniczna - 2.

Rozwiązywanie nierówności kwadratowych (bez względu na sposób uzasadnienia): z użyciem Δ (delta trójmianu kwadratowego) - 3, bez użycia Δ (delta trójmianu kwadratowego) (postać wielomianowa) - 7, postać kanoniczna - 4.

Sprowadzanie trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej: z użyciem Δ (delta trójmianu kwadratowego) - 1, bez użycia Δ (delta trójmianu kwadratowego) (postać wielomianowa) - 4, postać kanoniczna - 0.

Badanie monotoniczności funkcji kwadratowej: z użyciem Δ (delta trójmianu kwadratowego) - 2, bez użycia Δ (delta trójmianu kwadratowego) (postać wielomianowa) - 6, postać kanoniczna - 1.



Rozwiązywanie nierówności kwadratowych metodą graficzną.
Poniższe rysunki pokazują wzajemne położenie paraboli i osi X. Stanowią dodatek do rozwiązań nierówności kwadratowych metodą graficzną (opcja z gwiazdką "*").

funkcja kwadratowa i oś X: Δ>0, a>0
rys.1: Δ>0, a>0
funkcja kwadratowa i oś X: Δ>0, a<0
rys.2: Δ>0, a<0
funkcja kwadratowa i oś X: Δ=0, a>0
rys.3: Δ=0, a>0
funkcja kwadratowa i oś X: Δ=0, a<0
rys.4: Δ=0, a<0
funkcja kwadratowa i oś X: Δ<0, a>0
rys.5: Δ<0, a>0
funkcja kwadratowa i oś X: Δ<0, a<0
rys.6: Δ<0, a<0



Rozwiązywanie zadań - przykłady.
1) Równania kwadratowe, przypadki szczególne:       a) x2 + 3x + 9/4 = 0,     b) x2 + 3x = 0,     3) x2 - 3 = 0.
2) Lewe strony równań i nierówności w postaci kanonicznej:       a) ( x + 1 )2 - 2 = 0,     b) ( x - 1 )2 + 2 < 0,     c) -( x - 2 )2 + 3 > 0.

3) Zbadać monotoniczność funkcji użytych w poprzednim zadaniu.

Uzasadnić, dlaczego aplet pochłania za to zadanie tylko 1 punkt. (Oczywiście jest to problem pozamatematyczny.)
4) Sprowadzić trójmiany do postaci kanonicznej:       a) f(x) = x2 + (8/5)x,     b) f(x) = x2 - (8/5)x - 9/25,     c) f(x) = (1/4)x2 + (1/3)x - 1/7.

Bliźniaczy zadaniomat graficzny: wykres funkcji kwadratowej.
Aplety, oprogramowanie i treść serwisu: JL.
Wszelkie prawa zastrzeżone.