strona główna  |  zaloguj  |  nowe konto  |  wykresy funkcji  |  wykresy zaawansowane  |  zadania tekstowe
Funkcja kwadratowa z parametrem.             y = a(m)x2 + b(m)x + c(m),       deg(b)≤1,     deg(a)+deg(c)≤2,     a(m)≠0
alt="funkcja kwadratowa z parametrem, równanie kwadratowe z parametrem, równania kwadratowe z parametrem, nierówności kwadratowe z parametrem, rozwiązywanie nierówności kwadratowych z parametrem, rozwiązywanie równań kwadratowych z parametrem"
rozwiązywanie zadań - help rozwiązywanie zadań 1 - 4 rozwiązywanie zadań 5 - 9 zadania przykładowe

Rozwizywanie zadań - help.

Zadaniomat bada trójmian kwadratowy, którego współczynniki a(m), b(m), c(m) są wielomianami zmiennej m. Wielomian b(m) jest wielomianem liniowym, suma stopni wielomianów a(m) i c(m) jest niewiększa niż 2. Wielomian a(m) jest niezerowy.
Do pól tekstowych należy wpisywać oddzielone przecinkami dane wymierne, które odpowiadają kolejnym współczynnikom wielomianów zmiennej m. W przypadku wielomianów a i c należy wpisać 3 współczynniki, w przypdku wielomianu b 2 współczynniki. Aby suma stopni wielomianów a(m) i c(m) nie przekraczała 2, należy na początku ciągu wpisać odpowiednią ilość zer. Ostatnie pole tekstowe jest używane w przypadku czterech ostatnich opcji, w pozostałych jest nieaktywne.

Aplet za pierwszwe 3 opcje nalicza 2 punkty, za pozostałe - 3 punkty.


Rozwiązywanie zadań, opcje 1 - 4.

Zadanie 1) Opcja "znak fm(x)". Dla jakich wartości parametru m, trójmian kwadratowy fm(x) jest dodatni dla każdego x, dla jakich m jest ujemny dla każdego x.
Sformułowanie równoważne: Dla jakich wartości parametru m, nierówności fm(x)>0, fm(x)<0 są spełnione na całej prostej.

Zadanie 2) Opcja "#{x: fm(x)=0}". Oznaczenie #A znaczy ilość elementów zbioru A. Stąd oznaczenie #{x: fm(x)=0} znaczy ilość pierwiastków równania fm(x)=0. Łatwo zauważyć, że ilość pierwiastków równania fm(x)=0 jest funkcją parametru m. Możliwe wartości tej funkcji to 0, 1, 2, ∞. Ostatnia wartość pojawia się wówczas, gdy dla jakiejś wartości m, fm jest tożsamościowo równa 0. Aplet jako wynik wyświetla zbiory, dla których ilość pierwiastków osiąga wymienione wartości.

Zadanie 3) Opcja "x1*x2<0". Dla jakich wartości parametru m, trójmian kwadratowy fm(x) ma różne (niezerowe) pierwiastki różnych znaków.

Zadanie 4) Opcja "x1*x2>0, x1+x2<0". Dla jakich wartości parametru m, trójmian kwadratowy fm(x) ma różne (niezerowe) pierwiastki ujemne.

Rozwiązywanie zadań, opcje 5 - 9.

Zadanie 5) Opcja "x1*x2>0, x1+x2>0". Dla jakich wartości parametru m, trójmian kwadratowy fm(x) ma różne (niezerowe) pierwiastki dodatnie.

Zadanie 6) Opcja "x1 < k < x2". Dla jakich wartości parametru m, podana liczba k leży w przedziale otwartym pomiędzy pierwiastkami trójmianu kwadratowego fm(x).

Zadanie 7) Opcja "x1 < k1 < k2 < x2". Dla jakich wartości parametru m, przedział o podanych końcach k1, k2 leży w przedziale otwartym pomiędzy pierwiastkami trójmianu kwadratowego fm(x).

Zadanie 8) Opcja "k>x1,x2". Dla jakich wartości parametru m, podana liczba k jest większa od obu różnych pierwiastków trójmianu kwadratowego fm(x).

Zadanie 9) Opcja "k<x1,x2". Dla jakich wartości parametru m, podana liczba k jest mniejsza od obu różnych pierwiastków trójmianu kwadratowego fm(x).

Czytelnik zauważył, że w zadaniach pojawia się wymóg, aby pierwiastki były różne. Ma to na celu ograniczenie liczby opcji. W przypadku konieczności zamiany nierówności Δ>0 na Δ≥0 bardzo łatwo jest zmodyfikować wydruk z zadaniomatu zmieniając nierówności ostre na słabe, a zbiory otwarte na domknięte.


Zadania przykładowe.

Poniżej podano przykłady wielomianów, które warto zbadać przy pomocy apletu. Opcje od 1 do 5 dają bardzo gruntowny "portret" trójmianu kwadratowego. Dobór parametrów w ostatnim polu tekstowym dla wyższych opcji pozostawimy czytelnikowi. Obok definicji wielomianu pokazano, jakie dane wstawić do pierwszych trzech pól tekstowych.

Zadanie 1) fm(x) = (m - 2)x2 + (-m + 1)x + m + 1;         a2,a1,a0=0,1,-2;     b1,b0=-1,1;     c2,c1,c0=0,1,1.
Zadanie 2) fm(x) = (m2 - 3m + 2)x2 + (-m + 1)x + 1;         a2,a1,a0=1,-3,2;     b1,b0=-1,1;     c2,c1,c0=0,0,1.
Zadanie 3) fm(x) = x2 + (m + 2)x + m2 - 4m + 3;         a2,a1,a0=0,0,1;     b1,b0=1,2;     c2,c1,c0=1,-4,3.
Zadanie 4) fm(x) = (m - 1)x2 + (2m - 1)x + m + 1;         a2,a1,a0=0,1,-1;     b1,b0=2,-1;     c2,c1,c0=0,1,1.
Zadanie 5) fm(x) = mx2 + (m - 1)x + m + 1;         a2,a1,a0=0,1,0;     b1,b0=1,-1;     c2,c1,c0=0,1,1.
Zadanie 6) fm(x) = (m2 + 2m + 1)x2 + (m - 1)x + 1;         a2,a1,a0=1,2,1;     b1,b0=1,-1;     c2,c1,c0=0,0,1.

Aplety, oprogramowanie i treść serwisu: JL.
Wszelkie prawa zastrzeżone.