strona główna  |  zaloguj  |  nowe konto  |  wykresy funkcji  |  wykresy zaawansowane  |  zadania tekstowe
Funkcja moduł postaci:     f(x) = a||| x - x1 | - y1 | - y2 |,   równania i nierówności.
alt="rozwiązywanie zadań z funkcją moduł, równania i nierówności, rozwiązanie równania, rozwiązanie nierówności, rozwiązywanie równania, rozwiązywanie nierówności, funkcja moduł, kombinacja liniowa modułów" alt="funkcja moduł, moduły zagnieżdżone, równania i nierówności, rozwiązanie równania, rozwiązanie nierówności, rozwiązywanie równań z modułami, rozwiązywanie nierówności z modułami"
rozwiązywanie zadań - help interpretacja wyników zadania przykładowe

Rozwiązywanie zadań - help.

Do pól tekstowych należy wprowadzać dane wymierne. Pole tekstowe "b" odpowiada prawej stronie równania lub nierówności. Pozostałe pola odpowiadają parametrom funkcji f wyspecyfikowanej w nagłówku strony. Przy pomocy opcji wybieramy równanie, albo odpowiednią nierówność.

Za wszystkie zadania aplet nalicza 2 punkty.

Bliźniaczym w stosunku do niniejszego apletu jest aplet moduły zagnieżdżone. Oczywisty fakt, że miejsca zerowe funkcji y = f(x) - b są tożsame z pierwiastkami równania f(x) = b można wykorzystać do porównania wyników obu apletów. Można również wyskorzystać siatkę układu współrzędnych, wyrazowi wolnemu nadając inną wartość np. 0.


Rozwiązywanie zadań - wyniki.

Ponieważ zarówno pole wielowierszowe z wynikami jak i przeglądarki nie wyświetlją wszystkich symboli teoriomnogościowych, więc w aplecie i w niniejszym tekście obowiązują następujące konwencje:   Jako symbolu sumy użyto znaku "+", jako symbolu przecięcia znaku "&", zbiór pusty jest oznaczany przez "{}".

Wszystkie rozwiązania zadań zawierają pewne skróty myślowe, które warto tu skomentować:
1) Zdanie g(x) należy do przedziału (p; q) jest równoważna zdaniu g(x)>p i g(x)<q, co zapisujemy w skrócie p < g(x) < q, gdzie g - dowolna funkcja. Podobnie jest dla przedziałów domkniętych, zbiorów będących półprostymi i zbiorów dyskretnych.
2) Konsekwencją zdania (1) jest fakt, że jeśli liczba x - c należy do przedziału (p; q), to x należy do (p+c; q+c). W aplecie mówi się wówczas o przesunięciu zbioru.
3) Z nieujemności modułu wynika, że jeśli |x| należy do (p; q), to |x| należy do (p; q) & [0; ∞).
4) Jeśli g(x) należy do A + B (suma zbiorów), to g(x) należy do A lub g(x) należy do B, co oznacza, że zbiory rozwiązań sumują się.
5) Dokładne uzasadnienia dla nierówności typu |x|<p i |x|>p generuje aplet z kombinacją liniową modułów. W niniejszym aplecie są one podawane niejako z marszu.



Rozwiązywanie zadań - przykłady.
Równania i nierówności rozwiązywane przez niniejszy aplet dostarczają zbiorów rozwiązań o bardzo bogatej topologii.

Zadanie 1) Niech będzie dana funkcja moduł postaci: f(x) = ||| x - 2 | - 1| - 3|.
Nierówność f(x) ≥ 3: rozwiązaniem jest suma półprostych i zbioru dyskretnego dwupunktowego.
Nierówność f(x) ≤ 2: rozwiązaniem jest suma dwóch odcinków i zbioru jednopunktowego.

Zadanie 2) Niech będzie dana funkcja moduł postaci: f(x) = ||| x - 2 | - 5| - 2|.
Równanie f(x) = 1 posiada 8 pierwiastków, równanie f(x) = 2 posiada 6 pierwiastków, równanie f(x) = 3 tylko 3 pierwiastki.

Informacje zawatre w tej zakładce z pewnością zachęcą czytelnika do eksperymentów.

Aplety, oprogramowanie i treść serwisu: JL.
Wszelkie prawa zastrzeżone.